【解説】

$\dfrac{45^2 - n^2}{7}$が自然数になるには、$45^2 - n^2$は$7$で割り切れ、かつ正になります。

$$45^2 - n^2 = (45 + n)(45 - n)$$

なので、$(45 + n)$と$(45 - n)$がどちらも正か、どちらも負になります。

$(45 + n)$と$(45 - n)$がどちらも負のとき、

$45 + n < 0$のとき、$n < -45$

$45 - n < 0$のとき、$n > 45$

よって、$(45 + n)$と$(45 - n)$がどちらも負になる$n$はありません。

$(45 + n)$と$(45 - n)$がどちらも正のとき、

$45 + n > 0$のとき、$n > -45$

$45 - n > 0$のとき、$n < 45$

なので、$-45 < n < 45$です。

この$-45 < n < 45$の中で、$(45 + n)(45 - n)$が$7$で割り切れる、つまり$(45 + n)$か$(45 - n) $のどちらか$1$つでも$7$の倍数となる、もっとも大きい$n$を見つけます。

$n=44$のとき、

$45 + 44 = 89, \: 45 - 44 = 1$、これはどちらも$7$の倍数ではない。

$89 \div 7$のあまりは$5$なので、$n=44-5=39$のとき$(45 + n)$は$7$の倍数になる。

$1 \div 7$のあまりは$1$なので、$n=44-(7-1)=38$のとき$(45 - n)$は$7$の倍数になる。

より大きい$n=39$のとき$(45 + n)(45 - n)$が$7$で割り切れる。

よって、$\dfrac{45^2 - n^2}{7}$が自然数となる最も大きい$n$の値は$39$。

答: $39$

【別解】

$n=44$から順に、ひとつずつ調べても良いです。

$n=44$のとき、

$45 + 44 = 89, \: 45 - 44 = 1$、これはどちらも$7$の倍数ではない。

$n=43$のとき、

$45 + 43 = 88, \: 45 - 43 = 2$、これはどちらも$7$の倍数ではない。

$n=42$のとき、

$45 + 42 = 87, \: 45 - 42 = 3$、これはどちらも$7$の倍数ではない。

$n=41$のとき、

$45 + 41 = 86, \: 45 - 41 = 4$、これはどちらも$7$の倍数ではない。

$n=40$のとき、

$45 + 40 = 85, \: 45 - 40 = 5$、これはどちらも$7$の倍数ではない。

$n=39$のとき、

$45 + 39 = 84, \: 45 - 39 = 6$、これは$84$は$7$の倍数なので、$(45 + n)(45 - n)$が$7$で割り切れる。

よって、$\dfrac{45^2 - n^2}{7}$が自然数となる最も大きい$n$の値は$39$。

【解説】

$\triangle \mathrm{CIJ}$の各辺$\mathrm{CI}, \: \mathrm{IJ}, \: \mathrm{CJ}$について長さを求めます。

各辺は長さがわかる辺から、三平方の定理を用いて求められます。

辺$\mathrm{CI}$は直角三角形$\mathrm{CDI}$の斜辺であることがわかります。

$\mathrm{CD} = 4 \mathrm{\, cm}$、$\mathrm{I}$は$\mathrm{AD}$の中点なので$\mathrm{DI} = 6 \div 2 = 3 \mathrm{\, cm}$なので、求める$\mathrm{CI}$は、

$$ \begin{align*} \mathrm{CI} &= \sqrt{\mathrm{CD}^2 + \mathrm{DI}^2} \\ &= \sqrt{4^2 + 3^2} \\ &= \sqrt{16 + 9} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{align*} $$

辺$\mathrm{CJ}$は直角三角形$\mathrm{CFJ}$の斜辺であることがわかります。

また、辺$\mathrm{CF}$は直角三角形$\mathrm{CGF}$の斜辺であることがわかります。

$\mathrm{CG} = 3 \mathrm{\, cm}, \: \mathrm{GF} = 6 \mathrm{\, cm}$なので、

$$ \begin{align*} \mathrm{CF}^2 &= \mathrm{CG}^2 + \mathrm{GF}^2 \\ &= 3^2 + 6^2 \\ &= 45 \end{align*} $$

（この後の計算で$2$乗するので、$\mathrm{CF}$は$2$乗のままでよいです。）

$\mathrm{J}$は$\mathrm{EF}$の中点なので$\mathrm{FJ} = 4 \div 2 = 2 \mathrm{\, cm}$なので、求める$\mathrm{CJ}$は、

$$ \begin{align*} \mathrm{CJ} &= \sqrt{\mathrm{CF}^2 + \mathrm{FJ}^2} \\ &= \sqrt{45 + 2^2} \\ &= \sqrt{45 + 4} \\ &= \sqrt{49} \\ &= 7 \end{align*} $$

辺$\mathrm{IJ}$は直角三角形$\mathrm{IEJ}$の斜辺であることがわかります。

また、辺$\mathrm{IE}$は直角三角形$\mathrm{IAE}$の斜辺であることがわかります。

$\mathrm{IA} = 3 \mathrm{\, cm}, \: \mathrm{AE} = 3 \mathrm{\, cm}$なので、

$$ \begin{align*} \mathrm{IE}^2 &= \mathrm{IA}^2 + \mathrm{AE}^2 \\ &= 3^2 + 3^2 \\ &= 18 \end{align*} $$

（この後の計算で$2$乗するので、$\mathrm{IE}$は$2$乗のままでよいです。）

$\mathrm{EJ} = 2 \mathrm{\, cm}$なので、求める$\mathrm{IJ}$は、

$$ \begin{align*} \mathrm{IJ} &= \sqrt{\mathrm{IE}^2 + \mathrm{EJ}^2} \\ &= \sqrt{18 + 2^2} \\ &= \sqrt{18 + 4} \\ &= \sqrt{22} \end{align*} $$

よって$\triangle \mathrm{CIJ}$の周の長さは、

$$\mathrm{CI} + \mathrm{IJ} + \mathrm{CJ} = 5 + 7 + \sqrt{22} = 12 + \sqrt{22}$$

答: $12 + \sqrt{22} \mathrm{\, cm}$

【解説】

相対度数とは、その階級の度数（データの個数）がデータ全体の個数に占める割合のことです。

累積相対度数とは、一番小さい階級からその階級までの度数（データの個数）を足したものがデータ全体の個数に占める割合のことです。

つまり、夏休み中に走った$800 \mathrm{\, m}$走全体の回数から、$130$秒未満のタイムの割合が高い方を選考するという事です。

上野さんの$130$秒未満の累積相対度数は、

$$\dfrac{2+3+6}{20} = \dfrac{11}{20} = 0.55$$

大西さんの$130$秒未満の累積相対度数は、

$$\dfrac{1+4+8}{25} = \dfrac{13}{25} = 0.52$$

よって、累積相対度数が大きいのは上野さんの方です。

よって、アに当てはまるのは$0.55 $、イに当てはまるのは$0.52 $、ウに当てはまるのは①です。

答: (ア) $0.55$   (イ) $0.52$   (ウ) ①