【解説】

点$\mathrm{A}$の$x$座標は$-2$なので、点$\mathrm{A}$の$y$座標は

$$y = - (-2)^2 = -4$$

よって点$\mathrm{A}$の座標は$(-2, \: -4)$になる。

点$\mathrm{E}$は点$\mathrm{A}$と$y$軸に対して対称な点なので、点$\mathrm{E}$の座標は$(2, \: -4)$。

答: $(2, \: -4)$

【別解】

点$\mathrm{E}$の$y$座標は点$\mathrm{A}$と同じなので、$y=-4$を代入して$x$を求めてもよいです。

$$-4 = - x^2$$

$$x^2 = 4$$

$$x = \pm 2$$

点$\mathrm{A}$の$x$座標は$-2$なので、点$\mathrm{E}$の$x$座標は$2$となる。

よって点$\mathrm{E}$の座標は$(2, \: -4)$。

答: $(2, \: -4)$

【解説】

必要な座標や式を順に求めていきます。

点$\mathrm{B}$の$x$座標は$3$なので、

$$y = - 3^2 = -9$$

より、点$\mathrm{B}$の座標は$(3, \: -9)$。

点$\mathrm{A}(-2, \: -4)$、点$\mathrm{B}(3, \: -9)$より、直線$\mathrm{AB}$の式を求めます。

直線$\mathrm{AB}$の式を、$y = ax + b$とおき、点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を代入して、

$$\begin{cases} -4 = -2a + b \\ -9 = 3a + b \end{cases}$$

これを解いて、$a = -1, \: b = -6$。

よって直線$\mathrm{AB}$の式は、$y = -x - 6$。

直線$\mathrm{AB}$と$y$軸との交点を$\mathrm{F}$とおくと、点$\mathrm{F}$の座標は式は、$(0, \: -6)$。

$\triangle \mathrm{CAF}$の面積$\mathrm{S}_{\mathrm{CAF}}$は、$\mathrm{CF}$を底辺とすると、点$\mathrm{C}(0, \: 1) $、点$\mathrm{F}(0, \: -6)$より$\mathrm{CF} = 7$、高さは点$\mathrm{A}$の$x$座標が$-2$なので$2$となり、

$$\mathrm{S}_{\mathrm{CAF}} = 7 \times 2 \div 2 = 7$$

$\triangle \mathrm{CBF}$の面積$\mathrm{S}_{\mathrm{CBF}}$は、同じく底辺$\mathrm{CF} = 7$、高さは点$\mathrm{B} $の$x$座標が$3$なので、

$$\mathrm{S}_{\mathrm{CBF}} = 7 \times 3 \div 2 = \dfrac{21}{2}$$

$\triangle \mathrm{CAB}$の面積$\mathrm{S}_{\mathrm{CAB}}$は、

$$\mathrm{S}_{\mathrm{CAB}} = \mathrm{S}_{\mathrm{CAF}} + \mathrm{S}_{\mathrm{CBF}} = 7 + \dfrac{21}{2} = \dfrac{35}{2}$$。

四角形$\mathrm{CABD}$の面積は$25$なので、$\triangle \mathrm{CDB}$の面積$\mathrm{S}_{\mathrm{CDB}}$が$ 25 - \dfrac{35}{2} = \dfrac{15}{2}$となるように点$\mathrm{D}$を取ればよい。

ここで、直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$は平行なので、$\triangle \mathrm{CAB}$の底辺を$\mathrm{AB}$、$\triangle \mathrm{CDB}$の底辺を$\mathrm{CD}$とすると、高さが同じ三角形となる。

よって、$\triangle \mathrm{CAB}$と$\triangle \mathrm{CDB}$の面積の比は、底辺$\mathrm{AB}$と底辺$\mathrm{CD} $の長さの比と等しい。

$\mathrm{S}_{\mathrm{CAB}} = \dfrac{35}{2}$、$\mathrm{S}_{\mathrm{CDB}} = \dfrac{15}{2}$より、$ \triangle \mathrm{CAB}$と$\triangle \mathrm{CDB}$の面積の比は、

$$\dfrac{35}{2} : \dfrac{15}{2} = 7 : 3$$

よって$\mathrm{AB} : \mathrm{CD} = 7 : 3$となる。

$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$は傾きが同じなので、厳密に$\mathrm{AB}$の長さを求める必要はない。

点$\mathrm{A}(-2, \: -4)$と点$\mathrm{B}(3, \: -9)$の$x$座標の距離が$3 - (-2) = 5$なので、$ \mathrm{CD}$の$x$座標の距離は、

$$5 \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{7}$$

点$\mathrm{C}(0, \: 1)$より、点$\mathrm{D}$の$x$座標は、

$$0 + \dfrac{15}{7} = \dfrac{15}{7}$$

答: $\dfrac{15}{7}$