【解説】

四角すいの体積は、底面積$\times$高さ$\times \dfrac{1}{3}$なので、まずは底面積と高さを求めます。

底面は正方形なので、対角線は垂直に交わり、かつ対角線の中点で交わります。

よって対角線を底辺とする三角形とすると、底辺$4 \mathrm{\, cm}$、高さ$2 \mathrm{\, cm} $の三角形が$2$つあると考えられるので、底面積は、

$$(4 \times 2 \div 2) \times 2 = 8$$

高さは底面の中心から$\mathrm{O}$までの長さです。

この辺は底面に垂直なので、三平方の定理を使って高さを求められます。

$$\sqrt{7^2 - 2^2} = \sqrt{49 - 4} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$$

よって求める正四角すいの体積は、

$$8 \times 3 \sqrt{5} \times \dfrac{1}{3} = 8 \sqrt{5}$$

答: $8 \sqrt{5} \mathrm{\, cm^3}$

【別解】

底面積は、正方形の一辺の長さを出して求めてもよいです。

対角線と辺の比は$\sqrt{2} : 1$なので、辺を$x \mathrm{\, cm}$と置くと、

$$\sqrt{2} : 1 = 4 : x$$

$$x = \dfrac{4}{\sqrt{2}}$$

（計算に用いるだけなので、分母の有理化はしなくてもよいです。）

よって底面積は、

$$\dfrac{4}{\sqrt{2}} \times \dfrac{4}{\sqrt{2}} = \dfrac{16}{2} = 8$$

【解説】

まず、$x$座標について考えてみます。

サイコロの出目が$1$～$6$であることから、$0 \leqq |a-b| \leqq 5$です。

灰色の部分の$x$座標は$1 \leqq |a-b| \leqq 5$であることから、$|a-b|=0 $となるゾロ目は灰色の部分に含まれない事がわかります。

$(a,b)=(1,1), \: (2,2), \: (3,3), \: (4,4), \: (5,5), \: (6,6)$は除外します。

つぎに、$y$座標について考えてみます。

①が$y = \dfrac{1}{x}$、②が$x=1$であることから、その交点の$y$座標は$y = \dfrac{1}{1} = 1$です。

つまり灰色の部分の$y$座標は$0 \leqq y \leqq 1$であることから、$0 \leqq \dfrac{b}{a} \leqq 1 $の範囲だけを調べればよいことがわかります。

$a > b$は除外します。

よって、$a=b, \: a > b$を除いた$a < b$についてのみ、灰色の部分に含まれるかを調べればよいです。

①が$y = \dfrac{1}{x}$より、$x=1,2,3,4,5$のときの座標は$ (1,1), \: (2, \dfrac{1}{2}), \: (3, \dfrac{1}{3}), \: (4, \dfrac{1}{4}), \: (5, \dfrac{1}{5})$になる。

この点と$a < b$の出目について、$(|a-b|, \dfrac{b}{a})$を比較する。

$a=1$のとき、$a < b$の出目はない。

$a=2$のとき、$a < b$の出目は$(a,b)=(2,1)$。

$(a,b)=(2,1)$のとき、$(x,y)=(1, \dfrac{1}{2})$、よって含まれる。

$a=3$のとき、$a < b$の出目は$(a,b)=(3,1), \: (3,2)$。

$(a,b)=(3,1)$のとき、$(x,y)=(2, \dfrac{1}{3})$、よって含まれる。

$(a,b)=(3,2)$のとき、$(x,y)=(1, \dfrac{2}{3})$、よって含まれる。

$a=4$のとき、$a < b$の出目は$(a,b)=(4,1), \: (4,2), \: (4,3)$。

$(a,b)=(4,1)$のとき、$(x,y)=(3, \dfrac{1}{4})$、よって含まれる。

$(a,b)=(4,2)$のとき、$(x,y)=(2, \dfrac{2}{4})$、よって含まれる。

$(a,b)=(4,3)$のとき、$(x,y)=(1, \dfrac{3}{4})$、よって含まれる。

$a=5$のとき、$a < b$の出目は$(a,b)=(5,1), \: (5,2), \: (5,3), \: (5,4)$。

$(a,b)=(5,1)$のとき、$(x,y)=(4, \dfrac{1}{5})$、よって含まれる。

$(a,b)=(5,2)$のとき、$(x,y)=(3, \dfrac{2}{5})$、よって含まれない。

$(a,b)=(5,3)$のとき、$(x,y)=(2, \dfrac{3}{5})$、よって含まれない。

$(a,b)=(5,4)$のとき、$(x,y)=(1, \dfrac{4}{5})$、よって含まれる。

$a=6$のとき、$a < b$の出目は$(a,b)=(6,1), \: (6,2), \: (6,3), \: (6,4), \: (6,5)$。

$(a,b)=(6,1)$のとき、$(x,y)=(5, \dfrac{1}{6})$、よって含まれる。

$(a,b)=(6,2)$のとき、$(x,y)=(4, \dfrac{2}{6})$、よって含まれない。

$(a,b)=(6,3)$のとき、$(x,y)=(3, \dfrac{3}{6})$、よって含まれない。

$(a,b)=(6,4)$のとき、$(x,y)=(2, \dfrac{4}{6})$、よって含まれない。

$(a,b)=(6,4)$のとき、$(x,y)=(1, \dfrac{5}{6})$、よって含まれる。

灰色の部分に含まれる出目は$10$通り。

すべての出目は$6 \times 6 = 36$通りなので、

$$\dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}$$

答: $\dfrac{5}{18}$