大問3 解答・解説
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【解説】
$($ア$) \;$$8$の倍数は偶数なので、いつでも当てはまる。
$($イ$) \;$$8$の倍数のなかには$16$の倍数でないものもあるので当てはまらない。
$($ウ$) \;$大きい方の奇数を$6$倍した数は$6(2n-1)$なので、
$$6(2n-1) > 8(2n+1)$$
$$12n-6 > 16n+8$$
$$-4n > 14$$
$$n < - \dfrac{7}{2}$$
よって、すべての整数$n$に当てはまらない。
$($エ$) \;$小さい方の奇数と大きい方の奇数の和の$4$倍は
$$4 \{ (2n-1)+(2n+3) \} = 4(4n+2) = 8(2n+1)$$
よって、いつでも当てはまる。
答: ア エ
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【解説】
問題文の奇数の証明にならって、偶数の証明を書きます。
差が$4$である$2$つの奇数は、$n$を整数とすると、$2n, \: 2n+4$と表される。
大きい方の偶数の$2$乗から小さい方の偶数の$2$乗を引いた数は、
$$\begin{array}{rl} & (2n+4)^2 - (2n)^2 \\ = & (4n^2 + 16n + 16) - 4n^2 \\ = & 16n + 16 \\ = & 16(n + 1) \end{array}$$
$n+1$は整数だから、$16(n + 1)$は$16$の倍数である。
したがって、差が$4$である$2$つの偶数について、大きい方の偶数の$2$乗から小さい方の偶数の$2$乗を引いた数は、$ 16$の倍数である。