【解説】

$x=10$のとき、$\mathrm{EC}$の長さは$10 \mathrm{\, cm}$です。

$\mathrm{EF} = 10 \mathrm{\, cm}$なので、$\mathrm{C}$と$\mathrm{F}$は重なっている事がわかります。

$\mathrm{BC} = 6 \mathrm{\, cm}, \: \mathrm{AB} = 8 \mathrm{\, cm}$より、$\mathrm{AC}$の傾きは$ - \dfrac{4}{3}$です（$x$方向に$-3$進んだら$y$方向に$4$進む）。

$\mathrm{DG} = 7 \mathrm{\, cm}, \: \mathrm{EF} = 10 \mathrm{\, cm}, \: \mathrm{DE} = 4 \mathrm{\, cm} $より、$\mathrm{GF}$の傾きも$- \dfrac{4}{3}$です。

よって、点$\mathrm{G}$は$\mathrm{AC}$上にあることがわかります。

ここから、$\triangle \mathrm{ABC}$と台形$\mathrm{DEFG}$が重なる部分は、下底$6 \mathrm{\, cm}$、上底$ 3 \mathrm{\, cm}$、高さ$4 \mathrm{\, cm}$の台形であることがわかります。

よって、重なる部分の面積は、

$$(3+6) \times 4 \div 2 = 18$$

答: $18 \mathrm{\, cm^2}$

【解説】

$x=0$のとき、重なる部分の面積は$0$です。

$x=3$のとき、重なる部分の三角形の高さは$4$なので（$\mathrm{AC}$の傾き$- \dfrac{4}{3} $より）、三角形が台形の範囲に含まれていることがわかります。

よって重なる部分は$0 \leqq x \leqq 3$の間ずっと三角形である事がわかります。

このとき、底辺は$x$、高さは$\dfrac{4}{3} x$なので、求める面積は、

$$x \times \dfrac{4}{3} x \div 2 = \dfrac{2}{3} x^2$$

よって、重なる部分の面積$y \mathrm{\, cm^2}$を$x$で表すと、

$$y = \dfrac{2}{3} x^2$$

答: $y = \dfrac{2}{3} x^2$

【解説】

$x=3$のとき、点$\mathrm{D}$は$\mathrm{AC}$上にあるので、$3 < x \leqq 6 $の間、重なる部分は台形になることがわかります。

この台形は下底が$x$、上底が$x-3$、高さが$4$なので、求める面積は、

$$\{ x + (x-3) \} \times 4 \div 2 = 2 (2x -3) = 4x - 6$$

この式は、$x=3$のときも成立する。

よって、$y = 15$となる$x$は、

$$15 = 4x - 6$$

$$4x = 21$$

$$x = \dfrac{21}{4}$$

答: $\dfrac{21}{4}$

【別解】

$\mathrm{AC}$と$\mathrm{GF}$は傾きが同じなので、台形$\mathrm{DEFG}$の$\triangle \mathrm{ABC} $と重ならない部分は平行四辺形になることがわかります。

台形$\mathrm{DEFG}$の面積は、

$$(7 + 10) \times 4 \div 2 = 34$$

重なる部分の面積$y=15$なので、重ならない平行四辺形の面積は、

$$34 - 15 = 19$$

平行四辺形の高さは$4$なので、底面は、

$$19 \div 4 = \dfrac{19}{4}$$

よって$x$の長さ$\mathrm{EC}$は、

$$\mathrm{EC} = \mathrm{EF} - \mathrm{CF} = 10 - \dfrac{19}{4} = \dfrac{21}{4}$$

答: $\dfrac{21}{4}$