大問6 解答・解説
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【解説】
合同を証明する三角形はわかっているので、対応する辺$3$つ、角$3$つの中で等しい事を証明できそうなものを$3$つ探します。
ポイントは、二等辺三角形と円周角です。
まず、$\angle \mathrm{ABC} = \angle \mathrm{ACB}$より、$\triangle \mathrm{ABC} $が二等辺三角形であることがわかり、$\mathrm{AB} = \mathrm{AC}$が証明できます。
他の二辺については等しい事を証明するのが難しそうなので、この辺の両端の角が等しい事を証明します。
まず、$\angle \mathrm{ABE}$と$\angle \mathrm{ACE}$はどちらも$\stackrel{\huge\frown}{AE} $に対する円周角なので、等しい事がわかります。
そして、$\stackrel{\huge\frown}{CD} = \stackrel{\huge\frown}{BE}$より、同じ長さの弧に対する円周角なので、$ \angle \mathrm{EAB}$と$\angle \mathrm{DAC}$が等しい事がわかります。
以上より、$\triangle \mathrm{AEB}$と$\triangle \mathrm{AFC}$の合同を証明できます。
$\triangle \mathrm{AEB}$と$\triangle \mathrm{AFC}$において、
$\angle \mathrm{ABC} = \angle \mathrm{ACB}$より、$\triangle \mathrm{ABC}$は$ \angle \mathrm{ABC}, \: \angle \mathrm{ACB}$を底角とする二等辺三角形だから
$$\mathrm{AB} = \mathrm{AC} \quad \cdots \text{①}$$
$\angle \mathrm{ABE}$と$\angle \mathrm{ACE}$は$\stackrel{\huge\frown}{AE} $に対する円周角なので
$$\angle \mathrm{ABE} = \angle \mathrm{ACF} \quad \cdots \text{②}$$
$\stackrel{\huge\frown}{CD} = \stackrel{\huge\frown}{BE}$より、$\angle \mathrm{EAB}$と$ \angle \mathrm{DAC}$は同じ長さの弧に対する円周角なので
$$\angle \mathrm{EAB} = \angle \mathrm{FAC} \quad \cdots \text{③}$$
①, ②, ③より、$1$組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、
$\triangle \mathrm{AEB} \equiv \triangle \mathrm{AFC}$