【解説①】

問題文の通り、式を立てます。

①答: $180x + 120y = 1500$

【解説②】

問題文より、プリンとシュークリームを合わせて$9$個買うことができることから式を立てます。

$$x+y=9$$

この式と、①で立てた式の二式の連立方程式により$x$と$y$を解きます。

$$\begin{cases} 180x + 120y = 1500 \quad \cdots \text{①} \\ x + y = 9 \quad \cdots \text{②} \end{cases}$$

$$\begin{array}{rrrrrrl} & 3x & + & 2y & = & 25 & \quad \cdots \text{①} \div 60\\ -) & 2x & + & 2y & = & 18 & \quad \cdots \text{②} \times 2 \\ \hline & & x & & = & 7 & \end{array}$$

$x = 7$を②に代入

$$y = 2$$

②答:   プリン   $7$ (個)
シュークリーム   $2$ (個)

【解説①】

まず、シュークリームとドーナツについて、数量の間の関係を等式で表します。

$$120a + 90b = 1500$$

この式をそのまま使ってもいいですし、$4a + 3b = 50$と使いやすい形にしてもいいです。

式に当てはまる整数$(a, b)$を探していきます。$a,b$どちらを$0$で始めてもよいです。

$$(a, b) = (2, 14), \; (5, 10), \; (8, 6), \; (11, 2)$$

$a$は$3$個ずつ、$b$は$4$個ずつ増減します（相手の係数）。

よって全部で$4$通りの組み合わせがある。

①答: $4$

【解説②】

シュークリームとドーナツがどちらも$8$個しかないので、①の組み合わせの中でどちらの商品も$8$個以内のものを選びます。

よって$(a, b) = (8, 6)$となります。

②答:   シュークリーム   $8$ (個)
ドーナツ   $6$ (個)