【解説①】

$\mathrm{A}(4, 4)$は$y = ax^2$上の点なので、$x=4, y=4$を代入。

$$4 = a \times 4^2$$

$$a = \dfrac{1}{4}$$

①答: $a = \dfrac{1}{4}$

【解説②】

グラフからわかるように、$x$の変域が$-2 \leqq x \leqq 4$のとき、$y$の最小値は$x=0$のとき、最大値は$x=4$のときです。

$x=0$のとき

$$y = \dfrac{1}{4} \times 0^2 = 0$$

$x=4$のときは点$\mathrm{A}$なので、$y=4$

よって$y$の変域は

$$0 \leqq x \leqq 4$$

②答: $0 \leqq x \leqq 4$

【解説】

問題文より、$\mathrm{PA} + \mathrm{AF} = \mathrm{QB} + \mathrm{BF}$です。

つまり$\mathrm{PA}$の直線上に$\mathrm{AF}$と同じ長さを置いた直線$\mathrm{PF'}$と$\mathrm{QB}$の直線上に$ \mathrm{BF}$と同じ長さを置いた直線$\mathrm{PF''}$は同じ長さです。

この点$\mathrm{F'}$と点$\mathrm{F''}$の$y$座標は等しいので、どちらかを求めればよいです。

$\mathrm{AF}$より$\mathrm{BF}$の長さの方が求めやすいので、$\mathrm{QB} + \mathrm{BF}$の長さを求めることにします。

点$\mathrm{B}$は$y = \dfrac{1}{4} x$上の点で$x=-2$なので、$y = \dfrac{1}{4} \times (-2)^2 = 1$、よって$\mathrm{B}(-2, 1)$

$\mathrm{F}(0, 1)$なので$\mathrm{BF}$の長さは$2$、つまり$\mathrm{F''}(-2, -1)$

よって に入るのは$-1$です。

答: $-1$

【解説】

直線$m$が$\angle \mathrm{PAF}$の二等分線である事を利用します。

$(2)$より、$\mathrm{F'}(4, -1)$なので、$\mathrm{AF}$の長さは$5$です。

$\mathrm{PA}$と同じ直線上に$\mathrm{P'A} = 5$となるような点$\mathrm{P'}(4, 9)$をとります。

点$\mathrm{P'}$と点$\mathrm{F}$を直線で結び、直線$m$との交点を点$\mathrm{M}$とします。

このとき、$\triangle \mathrm{P'MA}$と$\triangle \mathrm{FMA}$は合同です。

（$2$辺$(\mathrm{P'A}=\mathrm{FA}, \; \mathrm{MA}=\mathrm{MA})$とその間の角$ (\angle \mathrm{P'AM} = \angle \mathrm{FAM})$がそれぞれ等しい。）

$\angle \mathrm{PMA} = \angle \mathrm{FMA} = 90^{\circ}$なので、直線$\mathrm{P'F} $は直線$m$と垂直に交わり、直線$l$と平行となります。

$\mathrm{P'F}$は直線$l$と傾きが同じなので、$\mathrm{P'F}$の傾きを求めます。

$\mathrm{F}(0,1), \; \mathrm{P'}(4,9)$なので傾きは$\dfrac{9-1}{4-0} = 2$

よって$l$は点$\mathrm{A}(4,4)$を通り、傾き$2$の直線なので、$y = 2x + b$と置いて$(4,4)$を代入。

$$4 = 2 \times 4 + b$$

$$b = -4$$

よって直線$l$の方程式は、

$$y = 2x - 4$$

答: $y = 2x - 4$

難問なので飛ばしましょう。