大問5 解答・解説
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【解説】
直線$\mathrm{BF}$と直線$\mathrm{CP}$は平行なので、$\triangle \mathrm{BCF}$の$\mathrm{BF}$を底辺としたとき、点$ \mathrm{C}$を直線$\mathrm{CP}$上で動かしても、底辺も高さも変わらないのですべて同じ面積の三角形になります。
よって$\triangle \mathrm{BCF}$と面積が等しいのは$\triangle \mathrm{BPF}$なので、(あ)に当てはまるのはイです。
さらに、四角形$\mathrm{ABCF}$の$\triangle \mathrm{BCF}$の部分が$\triangle \mathrm{BPF}$に変化した形は$ \triangle \mathrm{ABP}$なので、(い)に当てはまるのはオです。
答: (あ) イ
(い) オ
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【解説】
$(1)$で求めた四角形$\mathrm{ABCF}$と同じ面積の$\triangle \mathrm{ABP}$を利用します。
$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$2$等分にするには、底辺$\mathrm{AP}$の中点と点$\mathrm{B} $を結ぶ線を引けばよいことがわかります。
よって、四角形$\mathrm{ABCF}$を$2$等分する線分$\mathrm{BQ}$を引くには、点$\mathrm{Q}$を線分$ \mathrm{AP}$の中点に取ればよいので、(う)に当てはまるのはウです。
答: ウ
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【解説①】
まず、共通の辺なので$\mathrm{CF} = \mathrm{FC}$です。
円$\mathrm{M}$は半径の長さが$\mathrm{BF}$と等しいので、円$\mathrm{M}$の中心$\mathrm{C}$から円$\mathrm{M} $の円周上にある点$\mathrm{G}$までの長さは$\mathrm{BF}$と等しくなります。
同様に、円$\mathrm{N}$は半径の長さが$\mathrm{BC}$と等しいので、円$\mathrm{N}$の中心$\mathrm{F}$から円$\mathrm{N} $の円周上にある点$\mathrm{G}$までの長さは$\mathrm{BC}$と等しくなります。
$\triangle \mathrm{BCF}$と$\triangle \mathrm{GFC}$において、
共通の辺だから
$$\mathrm{CF} = \mathrm{FC} \quad \cdots \text{①}$$
円$\mathrm{M}$の半径の長さは$\mathrm{BF}$と等しいので
$$\mathrm{BF} = \mathrm{CG} \quad \cdots \text{②}$$
円$\mathrm{N}$の半径の長さは$\mathrm{BC}$と等しいので
$$\mathrm{BC} = \mathrm{GF} \quad \cdots \text{③}$$
①, ②, ③より、$3$組の辺がそれぞれ等しいから、
$\triangle \mathrm{BCF} \equiv \triangle \mathrm{GFC}$
【解説②】
$\angle \mathrm{BFC}$と$\angle \mathrm{GCF}$の関係は錯角です。
②答: ウ