【解説】

$$ \begin{align*} 5+(-12) &= 5-12 \\ &= -7 \end{align*} $$

答: $-7$

【解説】

掛け算・割り算は、足し算・引き算より先に計算します。

$$ \begin{align*} 7 - 8 \times (-2) &= 7 - (-16) \\ &= 7 + 16 \\ &= 23 \end{align*} $$

答: $23$

【解説】

ひとつの項なのでまとめて計算することができます。

$$ \begin{align*} \frac{2}{3}ab \div (-4b) \times 9a &= - \frac{2ab \times 9a}{3 \times 4b} \\ &= - \frac{\cancel{2}a\cancel{b} \times \cancel{9}^{\Large 3}a}{\cancel{3} \times \cancel{4}^{\Large 2}\cancel{b}} \\ &= - \frac{2}{3} a^2 \end{align*} $$

答: $- \dfrac{2}{3} a^2$

【解説】

$$ \begin{align*} (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 &= (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (- \sqrt{5})^2 \\ &= 3 - 2 \sqrt{15} + 5 \\ &= 8 - 2 \sqrt{15} \end{align*} $$

答: $8 - 2 \sqrt{15}$

【解説】

$$\begin{cases} x + 5y = 11 \quad \cdots \text{①} \\ 3x + 2y = -6 \quad \cdots \text{②} \end{cases}$$

$$\begin{array}{rrrrrrl} & 3x & + & 15y & = & 33 & \quad \cdots \text{①} \times 3\\ -) & 3x & + & 2y & = & -6 & \quad \cdots \text{②} \\ \hline & & & 13y & = & 39 & \end{array}$$

$$y = 3$$

$y = 3$を①に代入

$$x = -4$$

答: $ x=-4, \; y=3 $

【解説】

$ax^2+bx+c=0$の形に整えてから解きます。

$$ \begin{align*} x(x+2) &= 48 \\ x^2 + 2x &= 48 \\ x^2 + 2x -48 &= 0 \\ (x +8)(x - 6) &= 0 \\ \end{align*} $$

$$x = -8, 6$$

答: $x = -8, 6$

【解説】

点$\mathrm{A}$は$y=x-5$上の点なで、$x=-2$を代入して、

$$y=-2-5=-7$$

よって$\mathrm{A}(-2,-7)$。

また、点$\mathrm{A}$は$y=ax^2$上の点なで、$x=-2, \; y=-7$を代入して、

$$-7=(-2)^2a$$

$$a = - \dfrac{7}{4}$$

答: $a = - \dfrac{7}{4}$

【解説】

硬貨の出方の種類は、$1$枚につき$2$種類、硬貨が$3$枚あるので$2^3=8$通り。

$1$枚が表、$2$枚が裏となる出方は、$ ($表$,$裏$,$裏$),\;($裏$,$表$,$裏$),\;($裏$,$裏$,$表$)$の$3$通り。

よって、全ての場合で割って$\dfrac{3}{8}$。

答: $\dfrac{3}{8}$

【別説】

硬貨$1$枚の表が出る確率が$\dfrac{1}{2}$、裏が出る確率が$\dfrac{1}{2}$なので、$1$枚が表、$2 $枚が裏となるのは

$$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$$

$1$枚が表、$2$枚が裏となる出方は、$($表$,$裏$,$裏$),\;($裏$,$表$,$裏$),\;($裏$,$裏$,$表$)$の$ 3$通りあるので、

$$\dfrac{1}{8} \times 3 = \dfrac{3}{8}$$

答: $\dfrac{3}{8}$

【解説】

$\mathrm{AB}$を軸として$1$回転させてできる立体は、底面が半径$\mathrm{BC} (3 \mathrm{\, cm}) $、高さ$\mathrm{AB} (4 \mathrm{\, cm})$の円すいとなり、体積$\mathrm{V}$は

$$\mathrm{V} = 3 \times 3 \times \pi \times 4 \times \frac{1}{3} (\mathrm{\, cm^3})$$

$\mathrm{BC}$を軸として$1$回転させてできる立体は、底面が半径$\mathrm{AB} (4 \mathrm{\, cm}) $、高さ$\mathrm{BC} (3 \mathrm{\, cm})$の円すいとなり、体積$\mathrm{W}$は

$$\mathrm{W} = 4 \times 4 \times \pi \times 3 \times \frac{1}{3} (\mathrm{\, cm^3})$$

よって、

$$ \begin{align*} \mathrm{V} : \mathrm{W} &= 3 \times 3 \times \pi \times 4 \times \frac{1}{3} : 4 \times 4 \times \pi \times 3 \times \frac{1}{3} \\ &= \cancel{3} \times 3 \times \cancel{\pi} \times \cancel{4} \times \cancel{\frac{1}{3}} : \cancel{4} \times 4 \times \cancel{\pi} \times \cancel{3} \times \cancel{\frac{1}{3}} \\ &= 3 : 4 \end{align*} $$

答: $\mathrm{V} : \mathrm{W} = 3 : 4$

【解説】

平行四辺形の対角は等しいので、$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{C}$が等しいことがわかります。

$\angle \mathrm{E}$は$\angle \mathrm{C}$と等しいので、$ \angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{E}$も等しいことがわかります。

等しい角と円の関係から、円周角を思いつけると$4$点が円周上にある事がわかると思います。