【解説】

$m$は自然数で$6 \leqq m \leqq 31$なので、カレンダーの中で$6$の倍数とその前後の数を調べます。

$6$の倍数の前後の数の中で、$25$は素数ではありません。

よって反例となる$m$は$24$です。

答: $24$

【解説】

$2$よりも大きい素数は奇数なので、素数$n-1$の後の数で素数$n+1$の前の数である$n$は偶数となります。

よって(あ)は奇数、(い)は偶数となり、ウが正解です。

答: ウ

【解説①】

$a$を$3$で割ったときの商は$b$、余りは$1$なので、

$$a-1=3b$$

$($ア$) \quad$$a+1=3b$は誤り。

$($イ$) \quad$$a-1=3b \Leftrightarrow a-3b=1$なので正しい。

$($ウ$) \quad$$a-1=3b \Leftrightarrow a=3b+1$なので誤り。

$($エ$) \quad$$a-1=3b \Leftrightarrow a=3b+1$なので$a>3b$は正しい。

①答: イ エ

【解説②】

$a=3b+1$なので、

$$ \begin{align*} a+2 &= 3b + 1 + 2\\ &= 3b + 3 \\ &= 3(b+1) \end{align*} $$

よって余りは$0$になる。

②答: $0$

【解説】

問題文の会話で示されている、前後を素数にはさまれた数は$6$の倍数である事を利用します。

$31$より大きい$6$の倍数を小さい方から順に調べます。

$36$は、前の数が$35$、後ろの数が$37$で、$35$は素数ではないので当てはまらない。

$42$は、前の数が$41$、後ろの数が$43$で、どちらも素数なので当てはまる。

答: $42$