【解説】

マイナスの数を引くとプラスになります。

$$ \begin{align*} -3-(-4) &= -3+4 \\ &= 1 \end{align*} $$

答: $ 1 $

【解説】

ひとつの項なのでまとめて計算することができます。

$$ \begin{align*} (-6ab) \times \frac{2}{3} b &= - \frac{6ab \times 2b}{3} \\ &= - \frac{\cancel{6}^{\Large 2}ab \times 2b}{\cancel{3}} \\ &= -4ab^2 \end{align*} $$

答: $ -4ab^2 $

【解説】

展開して文字ごとにまとめます。

$$ \begin{align*} 5(a-2b)+4(2a+b) &= 5a-10b+8a+4b \\ &= 13a-6b \end{align*} $$

答: $ 13a-6b $

【解説】

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$の公式を利用できます。

$$ \begin{align*} (3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) &= 3^2 - (\sqrt{2})^2 \\ &= 9 - 2 \\ &= 7 \end{align*} $$

答: $ 7 $

【解説】

$ax^2+bx+c=0$の形に整えてから解きます。

$$ \begin{align*} (x+3)^2 &= 7x + 15 \\ x^2 +6x +9 &= 7x + 15 \\ x^2 -x -6 &= 0 \\ (x+2)(x-3) &= 0 \end{align*} $$ $$x=-2,3$$

答: $ x=-2,3 $

【解法1の解説】

$\sqrt{3(2n+1)}$の値が自然数となるには、$3(2n+1)$が自然数の2乗の数となる必要があります。

$3$は固定なので$(2n+1)$を小さい数から変化させて条件に合う数を見つけます。

$3(2n+1) = 3 \times 3$のとき

$2n+1=3$となり$n=1$、よって$2 \leqq n \leqq 20$の条件に合わない

$3(2n+1) = 3 \times 3 \times 2 \times 2$のとき

$2n+1=3 \times 2 \times 2=12$、$n$が自然数のとき$(2n+1)$は奇数になるので条件に合わない

$3(2n+1) = 3 \times 3 \times 3 \times 3$のとき

$2n+1=3 \times 3 \times 3=27$、$n=13$で条件を満たす

$3(2n+1) = 3 \times 3 \times 4 \times 4$のとき

$2n+1=3 \times 4 \times 4=48$、偶数かつ$n=23.5$となり範囲を超えているので条件に合わない

よって$n=13$となる。

【解法2の解説】

$2 \leqq n \leqq 20$は探す範囲が狭いので、すべて調べてしまうのも手です。

$n=2$のとき$\sqrt{3(2 \times 2+1)} = \sqrt{3 \times 5}$

$n=3$のとき$\sqrt{3(2 \times 3+1)} = \sqrt{3 \times 7}$

$n=4$のとき$\sqrt{3(2 \times 4+1)} = \sqrt{3 \times 9} = 3 \sqrt{3}$

$n=5$のとき$\sqrt{3(2 \times 5+1)} = \sqrt{3 \times 11}$

$n=6$のとき$\sqrt{3(2 \times 6+1)} = \sqrt{3 \times 13}$

$n=7$のとき$\sqrt{3(2 \times 7+1)} = \sqrt{3 \times 15} = 3 \sqrt{5}$

$n=8$のとき$\sqrt{3(2 \times 8+1)} = \sqrt{3 \times 17}$

$n=9$のとき$\sqrt{3(2 \times 9+1)} = \sqrt{3 \times 19}$

$n=10$のとき$\sqrt{3(2 \times 10+1)} = \sqrt{3 \times 21} = 3 \sqrt{7}$

$n=11$のとき$\sqrt{3(2 \times 11+1)} = \sqrt{3 \times 23}$

$n=12$のとき$\sqrt{3(2 \times 12+1)} = \sqrt{3 \times 25} = 5 \sqrt{3}$

$n=13$のとき$\sqrt{3(2 \times 13+1)} = \sqrt{3 \times 27} = 9$で条件を満たす

$n=14$のとき$\sqrt{3(2 \times 14+1)} = \sqrt{3 \times 29}$

$n=15$のとき$\sqrt{3(2 \times 15+1)} = \sqrt{3 \times 31}$

$n=16$のとき$\sqrt{3(2 \times 16+1)} = \sqrt{3 \times 33} = 3 \sqrt{11}$

$n=17$のとき$\sqrt{3(2 \times 17+1)} = \sqrt{3 \times 35}$

$n=18$のとき$\sqrt{3(2 \times 18+1)} = \sqrt{3 \times 37}$

$n=19$のとき$\sqrt{3(2 \times 19+1)} = \sqrt{3 \times 39} = 3 \sqrt{13}$

$n=20$のとき$\sqrt{3(2 \times 20+1)} = \sqrt{3 \times 41}$

よって$n=13$となる。

答: $ n=13 $

【解説】

ア立方体

イ三角柱

ウ四角錐( すい )

エ三角錐( すい )

答: ウ

【解説】

反比例の式$y=\dfrac{a}{x}$の形になるものを探します。

ア$y=30x$

イ$x \times y \div 2 = 20 \quad y = \dfrac{40}{x}$

ウ$y = \dfrac{100}{x}$

エ$y=2 \pi x$

答: イ ウ

【解説】

与えられた条件では、正方形だけでなくひし形にもなり得ます。

答: 誤

【解説】

$12$の約数$(1,2,3,4,6,12)$について、出た目を調べます。

出た目の和が$1$になる事はない

$2 \; (1,1)$

$3 \; (1,2),(2,1)$

$4 \; (1,3),(2,2),(3,1)$

$6 \; (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$

$12 \; (6,6)$

計$12$通り

すべての出目は$6 \times 6 = 36$通りなので、$\dfrac{12}{36} = \dfrac{1}{3}$

答: $\dfrac{1}{3}$

【解説】

$\mathrm{A}$を通る$\mathrm{BC}$への垂線を引くと、その垂線と$\mathrm{BC}$の交点が$\mathrm{H}$になります。

まずコンパスで$\mathrm{A}$を中心にして$\mathrm{BC}$と二点で交わる弧を描きます。

二点の$\mathrm{BC}$と弧の交点を中心として、同じ半径の弧を描きます。

二点の弧と弧の交点を通る直線を引くと、その直線と$\mathrm{BC}$の交点が$\mathrm{H}$になります。

答:

【別解】

点$\mathrm{A}$を中心に描いた弧と同じ半径で$\mathrm{BC}$と弧の交点を中心として弧を描いた場合は

点$\mathrm{A}$と弧の交点を結んだ直線と$\mathrm{BC}$の交点が$\mathrm{H}$になります。

答: