【解説①】

焼き鳥の商品の数についての式、本数についての式で二式立てます。

商品の数について

$$x + y = 160$$

本数について

$$3x + 5y = 700$$

①答: $\begin{cases} x + y = 160 \\ 3x + 5y = 700 \end{cases}$

【解説②】

$$\begin{cases} x + y = 160 \quad \cdots \text{①} \\ 3x + 5y = 700 \quad \cdots \text{②} \end{cases}$$

$$\begin{array}{rrrrrrl} & 3x & + & 3y & = & 480 & \quad \cdots \text{①} \times 3\\ -) & 3x & + & 5y & = & 700 & \quad \cdots \text{②} \\ \hline & & & -2y & = & -220 & \end{array}$$

$$y = 110$$

$y = 110$を①に代入

$$x = 50$$

②答:   商品$\mathrm{A} \quad 50 \;$(個)
商品$\mathrm{B} \; \; 110 \;$(個)

【解説①】

まずは二元一次方程式を立てます。

$$3a + 5b = 62$$

この式に当てはまる整数$(a, b)$を探していきます。問題文にある$a = 19, b = 1$から始めて$b$を増やしていきます。

$$(a, b) = (19, 1), \; (14, 4), \; (9, 7), \; (4, 10)$$

商品$\mathrm{A}$を$5$個ずつ減らし、商品$\mathrm{B}$を$3$個ずつ増やせばよい。

①答: $4 \;$(個)

【解説②】

商品の個数が最も少なくなるには、$5$本セットの商品$\mathrm{B}$の個数$b$がなるべく多いものを選べば良いです。

①より、$b$の値が一番大きいのは$(a, b) = (4, 10)$のとき。

（$4$種類しかないので、全ての$a + b$を出してみてもよいです。）

②答:   商品$\mathrm{A} \quad 4 \;$(個)
商品$\mathrm{B} \; \; 10 \;$(個)