【解説】

Ⅰについて、

$x$の変域が$-1 \leqq x \leqq 2$のとき、$y$の最小値は$x = 0$のとき、最大値は$x = 2$のときです。

$x = 0$のとき、$y = a \times 0^2 = 0$

$x = 2$のとき、$y = a \times 2^2 = 4a$

よって$y$の変域は$0 \leqq y \leqq 4a$となり正しくない。

Ⅱについて、

$y = ax^2$は二次関数なのでグラフは放物線となり、変化の割合は常に一定ではありません。

変化の割合が一定なのは直線のグラフとなる、一次関数$y = ax + b$です。

よって正しくない。

Ⅲについて、

$y = ax^2$は、原点を通り$y$軸について対称なグラフです。

よって正しい。

以上より正しいのはⅢのみとなります。

答: ウ

【解説】

点$\mathrm{C}$の$y$座標は点$\mathrm{B}$の$y$座標に等しいことがわかります。

また、点$\mathrm{B}$の$x$座標は点$\mathrm{A}$の$x$座標$t$に等しいことがわかります。

点$\mathrm{B}$は$y = \dfrac{1}{2} x^2$上の点なので、$x=t$を代入して$y = \dfrac{1}{2} t^2$、

よって点$\mathrm{C}$の$y$座標も$\dfrac{1}{2} t^2$となります。

答: $\dfrac{1}{2} t^2$

【解説(あ)】

$(2)$と同様に、点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$とします。

$(2)$で求めた通り、$\mathrm{B}(t,\dfrac{1}{2} t^2)$です。

点$\mathrm{A}$は$y = \dfrac{1}{6} x^2$上の点で、$x=t$なので、$y = \dfrac{1}{6} t^2$

よって、$\dfrac{\dfrac{1}{2} t^2}{\dfrac{1}{6} t^2} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cancel{t^2} \times 6}{\dfrac{1}{6} \cancel{t^2} \times 6} = 3$

(あ)答: $3$

点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$の$y$座標は等しいので「点$ \mathrm{C}$の$y$座標も、点$\mathrm{A}$の$y$座標の$3$倍になっている。」は明らか。

【解説(い)】

点$\mathrm{C}$は$y = \dfrac{1}{6} x^2$上の点なので、$y = \dfrac{1}{2} t^2$を代入して$ \dfrac{1}{2} t^2 = \dfrac{1}{6} x^2 \Leftrightarrow x^2 = 3t^2$

$t>0, x>0$なので、$x = \sqrt{3}t$。

点$\mathrm{A}$の$x$座標は$t$なので、点$\mathrm{C}$の$x$座標は点$\mathrm{A}$の$\sqrt{3}$倍。

(い)答: $\sqrt{3}$

【解説】

まずは各点の座標を求めます。

$(2),(3)$と同様に、点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$とし、各点は$x>0, t>0$です。

$\mathrm{A}(t, \dfrac{1}{6} t^2), \; \mathrm{B}(t, \dfrac{1}{2} t^2), \; \mathrm{C}(\sqrt{3}t, \dfrac{1}{2} t^2)$、

$\mathrm{D}$の$x$座標は$\mathrm{C}$と同じなので$\sqrt{3}t$、$y$座標は$y = \dfrac{1}{2} (\sqrt{3}t)^2 = \dfrac{3}{2} t^2$なので$(\sqrt{3}t, \dfrac{3}{2} t^2)$

$\mathrm{E}$の$y$座標は$\mathrm{D}$と同じなので$\dfrac{3}{2} t^2$、$x$座標は$\dfrac{3}{2} t^2 = \dfrac{1}{6} x^2 \Leftrightarrow x^2 = 9t^2$、なので$(3t, \dfrac{3}{2} t^2)$

$\mathrm{F}$の$x$座標は$\mathrm{E}$と同じなので$3t$、$y$座標は$y = \dfrac{1}{2} (3t)^2 = \dfrac{9}{2} t^2$なので$(3t, \dfrac{9}{2} t^2)$

$\mathrm{G}$の$y$座標は$\mathrm{F}$と同じなので$\dfrac{9}{2} t^2$、$x$座標は$\dfrac{9}{2} t^2 = \dfrac{1}{6} x^2 \Leftrightarrow x^2 = 27t^2$、なので$(3 \sqrt{3} t, \dfrac{3}{2} t^2)$

$$ \begin{align*} \triangle \mathrm{ABC} &= \mathrm{AB} \times \mathrm{BC} \times \dfrac{1}{2} \\ &= (\dfrac{1}{2} t^2 - \dfrac{1}{6} t^2) \times (\sqrt{3}t - t) \times \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{1}{3} t^2 \times (\sqrt{3} - 1)t \times \dfrac{1}{2} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \triangle \mathrm{EFG} &= \mathrm{EF} \times \mathrm{FG} \times \dfrac{1}{2} \\ &= (\dfrac{9}{2} t^2 - \dfrac{3}{2} t^2) \times (3 \sqrt{3} t - 3t) \times \dfrac{1}{2} \\ &= 3t^2 \times 3(\sqrt{3} - 1)t \times \dfrac{1}{2} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \dfrac{\triangle \mathrm{EFG}}{\triangle \mathrm{ABC}} &= \dfrac{3t^2 \times 3(\sqrt{3} - 1)t \times \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{3} t^2 \times (\sqrt{3} - 1)t \times \dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{3 \cancel{t^2} \times 3 \cancel{(\sqrt{3} - 1)t} \times \cancel{\dfrac{1}{2}} \times 3}{\dfrac{1}{3} \cancel{t^2} \times \cancel{(\sqrt{3} - 1)t} \times \cancel{\dfrac{1}{2}} \times 3} \\ &= 27 \end{align*} $$

答: $27 \;$(倍)