【解説】

$\mathrm{AE}$は直角三角形$\mathrm{ABE}$の斜辺なので、三平方の定理で求められます。

$\mathrm{AB} = 4 \mathrm{\, cm}$、$\mathrm{E}$は$\mathrm{BC}$の中点なので$\mathrm{BE} = 2 \mathrm{\, cm}$となり、

$$ \begin{align*} \mathrm{AE} &= \sqrt{4^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{16 + 4} \\ &= 2 \sqrt{5} \end{align*} $$

答: $2 \sqrt{5} \; (\mathrm{cm})$

【解説】

相似条件は以下の三つです。

• 3組の辺の比がすべて等しい
• 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
• 2組の角がそれぞれ等しい

$\angle \mathrm{AHF}$と$\angle \mathrm{EHC}$が対頂角で等しいので、 2組の辺の比かもう1組の角で等しいものを見つけます。

$\mathrm{AB}$と$\mathrm{BC}$は正方形$\mathrm{ABCD}$の二辺なので、$\triangle \mathrm{ABC}$は直角二等辺三角形、 よって$\angle \mathrm{ACB} = 45^{\circ}$

同様に$\mathrm{AE}$と$\mathrm{EF}$は正方形$\mathrm{AEFG}$の二辺なので、$\triangle \mathrm{AEF}$は直角二等辺三角形、 よって$\angle \mathrm{AFE} = 45^{\circ}$

よって$\angle \mathrm{AFH} = \angle \mathrm{ECH}$。

以上の2つの条件で相似が証明できます。

【解説】

図形の中で対頂角・同位角・錯角を探したり、多角形の性質を利用したりする方法では角度を求められないので、別の方法を探します。

数学では前の問題をヒントにする事がよくあるので、$(1)(2)$を利用できそうか考えてみます。

$(2)$で相似を証明した三角形の辺や角を利用して$\angle \mathrm{ACF}$を求めると考えると、$ \triangle \mathrm{HCF}$と$\triangle \mathrm{HEA}$の相似が証明できそうです。

さらに$\triangle \mathrm{HCF}$と$\triangle \mathrm{HEA}$が相似ならば$\angle \mathrm{AEH}$の角度はわかっているので、$\angle \mathrm{ACF}$も求められます。

なので$\triangle \mathrm{HCF}$と$\triangle \mathrm{HEA}$の相似を証明してみます。

ちなみに、数学では前の問題をヒントにする事がよくある、をこの問題$(3)$が次の問題$(4)$のヒントになるかもしれないと考えると、辺$\mathrm{CH}$を含む三角形になっているのも良い傾向です。

$\triangle \mathrm{HCF}$と$\triangle \mathrm{HEA}$において、

対頂角なので$\; \angle \mathrm{FHC} = \angle \mathrm{AHE}$

$\triangle \mathrm{AHF} \;$∽$\; \triangle \mathrm{EHC} \;$より

$\mathrm{AH} : \mathrm{EH} = \mathrm{FH} : \mathrm{CH} \Leftrightarrow \mathrm{FH} : \mathrm{AH} = \mathrm{CH} : \mathrm{EH}$

よって2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle \mathrm{HCF} \;$∽$\; \triangle \mathrm{HEA}$

$\angle \mathrm{AEH} = 90^{\circ}$より、$\angle \mathrm{FCH}(\angle \mathrm{ACF}) = 90^{\circ}$

答: $90(^{\circ} \;)$

【別解】

図を見ると、角度は求められないものの、辺の長さはいくつか出せそうなことがわかります。

辺の長さを利用して角度を求める方法として、相似や合同を証明して対応する角が等しいことから求めるものがあります。

また、$(2)$で相似の証明をしたことから、この問題でも相似や合同から角を求められないか考え、$\triangle \mathrm{HCF}$と$\triangle \mathrm{HEA} $ではなく、$\triangle \mathrm{ACF}$と$\triangle \mathrm{ABE}$に注目したとします。

まずは求められそうな辺を求めてみます。

$\mathrm{AB} = 4$、$\mathrm{BE} = 2$、$(1)$より$\mathrm{AE} = 2 \sqrt{5}$

$\mathrm{AC} = \sqrt{\mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4 \sqrt{2}$

$\mathrm{AF} = \sqrt{\mathrm{AE}^2 + \mathrm{EF}^2} = \sqrt{(2 \sqrt{5})^2 + (2 \sqrt{5})^2} = 2 \sqrt{10}$

$\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} = \dfrac{4 \sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}, \quad \dfrac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AE}} = \dfrac{2 \sqrt{10}}{2 \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ 、よって2組の辺の比が等しい。

$\mathrm{CF}$の長さは不明なので、2辺の間の角が等しいことを証明します。

$\angle \mathrm{BAE} = \angle \mathrm{BAC}(45^{\circ}) - \angle \mathrm{EAH} , \quad \angle \mathrm{CAF} = \angle \mathrm{EAF}(45^{\circ}) - \angle \mathrm{EAH}$ 、よって$\angle \mathrm{BAE} = \angle \mathrm{CAF}$

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle \mathrm{ACF} \;$∽$\; \triangle \mathrm{ABE}$

$\angle \mathrm{ACF} = \angle \mathrm{ABE} = 90^{\circ}$

この解き方をすると、次の問題を解くために$\triangle \mathrm{HCF} \;$∽$\; \triangle \mathrm{HEA}$を証明する必要があります。

しかし$\angle \mathrm{FHC} = \angle \mathrm{AHE}$（対頂角）、$\angle \mathrm{FCH} = \angle \mathrm{AEH} = 90^{\circ}$で簡単に証明できるので、少し遠回りする程度で済みます。

答: $90(^{\circ} \;)$

【最後の手段】

どうしても全くわからない場合も空欄にせず、なんとなく$90^{\circ}$っぽいなという当てずっぽうで書いてしまいましょう。

その後の問題は解けませんが、時間を掛けず別の問題に集中するのも良い戦略です。

【解説】

$(3)$で$\triangle \mathrm{HCF} \;$∽$\; \triangle \mathrm{HEA}$を証明しているものとして進めます。

求められる辺の長さを求めながら、$\mathrm{CH}$の長さに近付いていきます。

$\mathrm{AB} = 4, \mathrm{BE} = \mathrm{EC} = 2,$

$(1)$より$\mathrm{AE} = 2 \sqrt{5},$

$\mathrm{AC} = \sqrt{\mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4 \sqrt{2},$

$\mathrm{AF} = \sqrt{\mathrm{AE}^2 + \mathrm{EF}^2} = \sqrt{(2 \sqrt{5})^2 + (2 \sqrt{5})^2} = 2 \sqrt{10},$

$(3)$で求めた$\angle \mathrm{ACF} = 90^{\circ}$を利用して、直角三角形$\mathrm{ACF}$から$\mathrm{CF}$を求められます。

$\mathrm{CF} = \sqrt{\mathrm{AF}^2 - \mathrm{AC}^2} = \sqrt{(2 \sqrt{10})^2 - (4 \sqrt{2})^2} = 2 \sqrt{2},$

$\mathrm{AH}$と$\mathrm{CH}$の比がわかれば、$\mathrm{AC} = 4 \sqrt{2}$から$\mathrm{CH}$の長さが求められます。

$\mathrm{AE} = 2 \sqrt{5} ,\; \mathrm{FC} = 2 \sqrt{2}$より、$ \triangle \mathrm{HEA}$と$\triangle \mathrm{HCF}$の辺の比は$2 \sqrt{5} : 2 \sqrt{2} = \sqrt{5} : \sqrt{2}$

よって$\mathrm{AH} : \mathrm{FH} = \sqrt{5} : \sqrt{2}$

$\mathrm{AF} = 2 \sqrt{10} ,\; \mathrm{EC} = 2$より、$ \triangle \mathrm{AHF}$と$\triangle \mathrm{EHC}$の辺の比は$2 \sqrt{10} : 2 = \sqrt{10} : 1$

よって$\mathrm{FH} : \mathrm{CH} = \sqrt{10} : 1$

$\mathrm{AH} : \mathrm{FH} = \sqrt{5} : \sqrt{2} = \sqrt{5} \times \sqrt{5} : \sqrt{2} \times \sqrt{5} = 5 : \sqrt{10}$

$\mathrm{AH} : \mathrm{FH} : \mathrm{CH} = 5 : \sqrt{10} : 1$

$\mathrm{AH} : \mathrm{CH} = 5 : 1$なので、

$\mathrm{CH} = \mathrm{AC} \times \dfrac{1}{6} = 4 \sqrt{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$

答: $ \dfrac{2 \sqrt{2}}{3} $

【解説】

$3$点$\mathrm{A}$、$\mathrm{E}$、$\mathrm{F}$を通る円とは、$\angle \mathrm{AEF}$に外接する円という事です。

$\angle \mathrm{AEF}$は直角三角形なので、円の直径に対する円周角が$90^{\circ}$である事を思い出せると、斜辺$ \mathrm{AF}$が直径、円の中心$\mathrm{P}$は$\mathrm{AF}$の中点である事がわかります。

同様に、$3$点$\mathrm{C}$、$\mathrm{F}$、$\mathrm{H}$を通る円は直角三角形$\mathrm{CFH}$に外接する円なので、斜辺$ \mathrm{FH}$の中点が$\mathrm{Q}$である事がわかります。

$\mathrm{FA}$の中点$\mathrm{P}$と、$\mathrm{FH}$の中点$\mathrm{Q}$を結んだ$\mathrm{PQ}$の長さは、$ \angle \mathrm{FAH}$に中点連結定理を使う事で求められます。

中点連結定理より、$\mathrm{PQ} = \dfrac{1}{2} \mathrm{AH}$

$(4)$より、$\mathrm{AH} = \mathrm{AC} \times \dfrac{5}{6} = 4 \sqrt{2} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{10 \sqrt{2}}{3}$

$\mathrm{PQ} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{10 \sqrt{2}}{3} = \dfrac{5 \sqrt{2}}{3}$

答: $\dfrac{5 \sqrt{2}}{3}$

【別解】

中点連結定理を思い出せなくても、$\triangle \mathrm{FAH}$と$\triangle \mathrm{FPQ}$が辺の比$ \; 2 : 1 \;$の相似であることがわかれば$\mathrm{PQ} = \dfrac{1}{2} \mathrm{AH}$である事がわかります。