大問4 解答・解説
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【解説】
$\triangle \mathrm{AFG}$の三辺は、正方形の対角線($\mathrm{AF}$)、正方形の一辺($\mathrm{FG} $)、立方体の対角線($\mathrm{AG}$)になっていることがわかります。
この$3$つの辺と同じ辺で構成されている三角形が、合同です。
$($ア$) \quad$正方形の一辺($\mathrm{AE},\mathrm{EF}$)、正方形の対角線($\mathrm{AF} $)なので異なる。
$($イ$) \quad$立方体の対角線($\mathrm{AG}$)、正方形の一辺($\mathrm{GH}$)、正方形の対角線($\mathrm{AH} $)なので合同。
$($ウ$) \quad$正方形の対角線($\mathrm{AC},\mathrm{CF},\mathrm{AF} $)なので異なる。
$($エ$) \quad$正方形の一辺($\mathrm{AE}$)、正方形の対角線($\mathrm{EG}$)、立方体の対角線($\mathrm{AG} $)なので合同。
答: イ エ
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【解説】
$\triangle \mathrm{AEG}$は直角三角形なので、$\mathrm{AG} = \sqrt{\mathrm{AE}^2 + \mathrm{EG}^2}$で求められます。
$$ \begin{align*} \mathrm{EG} &= - \sqrt{\mathrm{EF} ^2 + \mathrm{FG} ^2} \\ &= - \sqrt{10^2 + 10^2} \\ &= \sqrt{200} \\ &= 10 \sqrt{2} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \mathrm{AG} &= - \sqrt{\mathrm{AE} ^2 + \mathrm{EG} ^2} \\ &= - \sqrt{10^2 + 200} \\ &= \sqrt{300} \\ &= 10 \sqrt{3} \end{align*} $$
答: $10 \sqrt{3}$
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【解説】
まず、$\angle \mathrm{A}$が共通なことがわかります。
辺の長さは$\mathrm{AF}, \mathrm{AG}, \mathrm{FG}$しかわからないので、等しい角を探します。
仮定より、$\angle \mathrm{APF}$が$90^{\circ}$であることがわかっているので、対応する$\angle \mathrm{AFG}$を調べます。
辺$\mathrm{FG}$は面$\mathrm{AEFB}$に垂直であることがわかります。
辺$\mathrm{AF}$は面$\mathrm{AEFB}$上にあるので、辺$\mathrm{FG}$と辺$\mathrm{AF}$も垂直であることがわかります。
以上の2つの条件で相似が証明できます。
$\triangle \mathrm{AFG}$と$\triangle \mathrm{APF}$において、
共通の角だから
$$\angle \mathrm{FAG} = \angle \mathrm{PAF} \quad \cdots \text{①}$$
面$\mathrm{AEFB} \perp$辺$\mathrm{FG}$
辺$\mathrm{AF}$は面$\mathrm{AEFB}$上にあるので
$$\mathrm{FG} \perp \mathrm{AF}$$
よって
$$\angle \mathrm{AFG} = 90^{\circ}$$
仮定より
$$\angle \mathrm{APF} = 90^{\circ}$$
よって
$$\angle \mathrm{AFG} = \angle \mathrm{APF} \quad \cdots \text{②}$$
①, ②より、$2$組の角がそれぞれ等しいから、
$\triangle \mathrm{AFG} \;$∽$\; \triangle \mathrm{APF}$
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【解説】
わかっている辺の長さと$(3)$で証明した相似を使って求めます。
$\triangle \mathrm{AFG} \;$∽$\; \triangle \mathrm{APF}$なので、
$$\mathrm{AP} : \mathrm{AF} = \mathrm{AF} : \mathrm{AG}$$
$\mathrm{AF} = 10 \sqrt{2}, \; \mathrm{AG} = 10 \sqrt{3}$なので、
$$ \begin{align*} \mathrm{AP} : 10 \sqrt{2} &= 10 \sqrt{2} : 10 \sqrt{3} \\ \mathrm{AP} \times 10 \sqrt{3} &= (10 \sqrt{2})^2 \\ \mathrm{AP} &= \frac{200}{10 \sqrt{3}} \\ &= \frac{20 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \\ &= \frac{20}{3} \sqrt{3} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \mathrm{PG} &= \mathrm{AG} - \mathrm{AP} \\ &= 10 \sqrt{3} - \frac{20}{3} \sqrt{3} \\ &= \frac{10}{3} \sqrt{3} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \mathrm{AP} : \mathrm{PG} &= \frac{20}{3} \sqrt{3} : \frac{10}{3} \sqrt{3} \\ &= 2 : 1 \end{align*} $$
答: $\mathrm{AP} : \mathrm{PG} = 2 : 1$