【解説①】

〈説明 Ⅰ〉について、黒く塗られた棒は$ m$個の正方形の間にあるので$m-1$本あります。

正方形をつくるには棒が$4$本いるので、$m$個の正方形をつくるには$4m$本、そこから辺が重複している黒く塗られた棒を引くので、棒の総数は$ 4m - (m-1)$本です。

よって(あ)には$m-1$が入ります。

〈説明 Ⅱ〉について、上側と下側には$ m$本ずつ棒があります。

上側と下側の間の棒は、黒く塗られた棒が$m-1$本、右端、左端の$2$本を合わせて$(m - 1 + 2)$本です。

上側、下側、間の棒の全てを足して、$2 \times m + m + 1 + 2$本です。

よって(い)には$m$が入ります。

〈説明 Ⅰ〉の方法、〈説明 Ⅱ〉の方法のどちらでも、棒の総数は$3m+1$になります。

①答: (あ) $m-1$   (い) $m$

【解説②】

〈説明 Ⅰ〉の方法、〈説明 Ⅱ〉の方法のどちらでも、棒の総数は$3m+1$になります。

棒の総数が$760$本のときの$m$は、

$$ \begin{align*} 3m + 1 &= 760 \\ 3m &= 759 \\ m &= 253 \end{align*} $$

②答: $253$

【解説①】

色々な方法があると思います。

〈方法その$1$〉

$(1)$より、$1$列の場合、棒の本数は$3n+1$になります。

そこに$1$列足した時に増える棒の数は、$3n+1$から重複する$n$を引いて$2n+1$本です。

最初にある$1$列に、$n-1$回列を足したら$n \times n$個の正方形になるので、求める総数は、

$$ \begin{align*} 3n + 1 + (n-1)(2n + 1) &= 3n + 1 + 2n^2 - n - 1 \\ &= 2n^2 + 2n \end{align*} $$

〈方法その$2$〉

$(1)$の〈説明 Ⅰ〉のやり方を応用して求めます。

$n \times n$個の正方形をつくるには、$4 \times n \times n$本の棒が必要です。

そこから重複分の黒く塗られた棒を引きます。

$(1)$より、$1$列に$n-1$本、それが$n$列あるので$n(n-1)$本、さらにそれが縦と横にあるので、黒く塗られた棒は$2n(n-1)$本です。

よって求める総数は、

$$ \begin{align*} 4 \times n \times n - 2n(n - 1) &= 4n^2 - 2n^2 + 2n \\ &= 2n^2 + 2n \end{align*} $$

〈方法その$3$〉

$(1)$の〈説明 Ⅱ〉のやり方を応用して求めます。

正方形の上側と下側を構成する棒は、横一列に$n$本あり、それが$n + 1$個あるので$n(n + 1)$本です。

横棒は、一列に$n-1$本の黒い棒と右端と左端で$n+1$本あり、それが$n$個あるので$n(n + 1)$本です。

よって求める総数は、

$$ \begin{align*} n(n + 1) + n(n + 1) &= 2n(n + 1) \\ (&= 2n^2 + 2n) \end{align*} $$

①答: $2n^2 + 2n$

【解説②】

棒の総数が$760$本のときの$n$は、

$$ \begin{align*} 2n^2 + 2n &= 760 \\ n^2 + n &= 380 \\ n^2 + n - 380 &= 0 \\ (n + 20)(n - 19) &= 0 \\ \end{align*} $$

$n>0$なので、

$$n = 19$$

正方形の数は$n \times n$なので、$19 \times 19 = 361$

②答: $361$